B.3.7 Kritische Werte S_n;i

Analog zu (B32) können für beliebige geradzahlige Stichprobenumfänge n mit Hilfe von Gl. (B22) kritische Werte Sn,; berechnet werden, mit denen die Aussage

gilt. Sie sind für n = 6(2)30 bzw. n = 10(10)100 mit den zur Berechnung von s_r,n benötigten Perzentilen k_(n-1)/n der Standardnormalverteilung in den Tabellen B2 und B3 angegeben.

B.3.8 Schritte zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert

Die erläuterte Methode zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert von lognormal verteilten Zufallsgrößen (für ein vorgegebenes Vertrauensniveau von 0,95) beinhaltet die folgenden Schritte:

1. Für eine zufällige Stichprobe mit geradzahligem Umfang n sind die Messwerte nach der Größe zu ordnen. Die so geordnete Reihenfolge der Messwerte ist: x_{<1> ≤;} x_{<2> ≤;} ... ≤; x_<n>
2. Es wird die folgende Prüfgröße berechnet,
   
   wobei k_p das P%-Perzentil der Standardnormalverteilung bezeichnet.
3. Der Messwert

   X<n-i> mit der größten Zahl i, für die sn ≥ Sn;i ist,

   (B34)

   wozu kritische Werte Sn; in den Tabellen B2 und B3 angegeben sind, stellt dann eine obere Konfidenzgrenze für den Erwartungswert E zum Vertrauensniveau von 0,95 dar.

4. Wenn s_n ≥ S_n;i ist, kann diese Methode zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E nicht angewendet werden.

Abbildung B6: Verlauf der Wahrscheinlichkeiten Pr(x_<n-i> ≥ E ｜ s₂₀) in Abhängigkeit vom Wert des für die Stichprobe (n = 20) gemessenen Wertes s₂₀

Tabelle B2: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,95

Tabelle B3: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,95

B.4 Literatur

[B1] David, H.A.; Nagaraja, H.N. Order Statistics (Third Edition) John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003

[B2] Rinne, H.
Taschenbuch der Statistik
Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1997

[B3] Jeffreys, H. Theory of Probability (Third Edition) Oxford University Press Inc., New York, 1961

[B4] Bernardo, J.M.; Smith, A.F.M.
Bayesian Theory
John Wiley & Sons, Ltd, Baffins Lane, Chichester, 2000

[B5] Robert, C.P.
The Bayesian Choice
Springer-Verlag New York Inc., New York, Berlin, Heidelberg, Barcelona, Hongkong, London, Milan, Paris, Singapore, Tokyo, 2001

.

Die Schätzung der Verteilungsparameter für normal bzw. log-normal verteilte Zufallsgrößen auf der Basis von Stichprobenwerten (Messwerten) ist u. a. Voraussetzung für die genaue Berechnung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert E der Zufallsgröße. Sie kann auf der Grundlage gut bekannter Beziehungen erfolgen (siehe z.B. [C1]), sofern die Verteilungen "ungestört" sind. In Abschnitt C.1 werden die hierzu gebräuchlichen Maximum-Likelihood-Schätzer angegeben. In der Praxis muss jedoch immer damit gerechnet werden, dass die Verteilungen gestört sind. Hierzu sind insbesondere folgende Fälle zu beachten:

• Für einzelne Proben kann kein konkreter Messwert x für die Größe X angegeben werden, sondern nur die Aussage getroffen werden, dass Wert x unter der Erkennungsgrenze x^* der Messung liegt (x < x^*). Solche Ergebnisse müssen für die Schätzung der Verteilungsparameter auf spezielle Weise berücksichtigt werden. Dies wird in Abschnitt C.2 erläutert.
• Einzelne extreme Messwerte stellen Ausreißer dar, die nicht zur statistischen Verteilung der übrigen Werte passen und folglich mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht aus der gleichen Grundgesamtheit stammen. Ihre Einbeziehung in die Parameterschätzung könnte zu erheblichen Fehlern führen. Sie sind deshalb zu identifizieren und für die Parameterschätzung zu separieren. In Abschnitt C.3 wird auf einen hierfür geeigneten Ausreißertest näher eingegangen.
• Für lognormal verteilte Zufallsgrößen sind Störungen der "reinen" Verteilung durch einen in den Messwerten ggf. enthaltenen konstanten Untergrundwert c zu prüfen. Ein Untergrundwert ist aus den Messwerten vor der Schätzung der anderen Verteilungsparameter zur Vermeidung größerer Fehler zu separieren. Zur Schätzung des Wertes eines in den Messdaten vorhandenen Untergrundes sind spezielle Methoden geeignet, die in Abschnitt C.4 dargestellt werden.

C.1 Schätzung der Parameter μ und σ für ungestörte Verteilungen

Eine normalverteilte Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ² (bzw. der Standardabweichung σ ) X ~ N_{(μ; σ)}, hat folgende Verteilungsdichte und Verteilungsfunktion:

(C1)

(C2)

wobei erf(x) die sogenannte Fehlerfunktion bezeichnet,

(C3)

Zur Schätzung der Verteilungsparameter μ und σ sind die so genannten erwartungstreuen Momentenschätzer geeignet [C1]. Danach werden aus den n Einzelwerten x_i (i = 1 bis n) einer Stichprobe vom Umfang n, die auf zufällige Weise aus einer ungestört normalverteilten Grundgesamtheit gewonnen wurde, folgende Schätzwerte μ_n, des Erwartungswertes und σ²_n der Varianz berechnet:

(C4)

(C5)

Eine Zufallsgröße Y ist lognormal verteilt, wenn X = ln(Y) eine normalverteilte Größe ist. Mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ von X schreibt man Y ~ Ln(μ; σ). Die Verteilungsdichte der Realisierungen y ist

(C6)

Für die Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung folgt:

(C7)

Zur Schätzung der Verteilungsparameter μ und σ der Lognormalverteilung aus n Einzelwerten y_i (i = 1 bis n) einer Stichprobe vom Umfang n, die auf zufällige Weise aus einer ungestört lognormal verteilten Grundgesamtheit gewonnen wurde, werden Gl. (C4) und (C5) mit

genutzt. Die Verteilungsparameter von ungestörten (reinen) Normal- bzw. Lognormalverteilungen werden somit völlig analog geschätzt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass im Fall der Normalverteilung in Gl. (C4) und (C5) die Messwerte und im Fall der Lognormalverteilung die Logarithmen der Messwerte einzusetzen sind.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Bedeutung der Parameter μ und σ für die beiden Verteilungen sehr unterschiedlich ist. Der Erwartungswert E der Zufallsgröße genügt z.B. folgenden Beziehungen:

Normalverteilung:

(C9)

Lognormalverteilung:

(C10)

C.2 Schätzung der Parameter μ und σ bei Unterschreitungen von Erkennungsgrenzen

Liegt für eine gewisse Probenzahl n_e einer Stichprobe vom Umfang n nur das Ergebnis "Messwert kleiner Erkennungsgrenze" vor, so kann mit Gl. (C4) und (C5) keine korrekte Schätzung der Parameter μ und σ vorgenommen werden. Im vorliegenden Abschnitt wird für diesen Fall das in [C2] entwickelte Schätzverfahren erläutert und für die praktische Anwendung aufbereitet.

Das Schätzverfahren wird für eine normal verteilte Größe X dargelegt. Es ist auf die Schätzung der Parameter μ und σ einer lognormal verteilten Größe Y durch die Transformation X = ln(Y), die nach Gl. (C8) auch für die Messwerte von Stichproben bzw. die Erkennungsgrenzen, x_i^* = ln(y_i^*), anzuwenden ist, direkt übertragbar.

DA die Erkennungsgrenzen x*_i (i = 1 bis n) der n untersuchten Einzelproben unterschiedlich sein können, ist es möglich, dass für eine j-te Probe ein konkreter Messwert x_j vorliegt, der kleiner ist als die Erkennungsgrenze x*_i einer i-ten Probe, für die aus der Messung nur die Aussage x_i < x*_i resultiert. In solchen Fällen kann der Messwert x_i nicht direkt zur Schätzung der Parameter μ und σ genutzt werden. Mit x werden die nach der Größe geordneten Messergebnisse bezeichnet, wobei für Proben mit dem Ergebnis "x_i < x*_i" die Erkennungsgrenze x^*_i eingesetzt wird. Dann gilt x _≤; x_<j>, bei i < j für alle i und j von 1 bis n.

Es sei x^* das Maximum der Erkennungsgrenzen all jener Proben, für die aus den Messungen nur die Aussage x_i < x*_i gewonnen wurde,

(C11)

ist dann die Anzahl von Einzelproben, deren Wert nicht größer als x^* ist. Die Zahl n^* kann größer als die Anzahl n_e sein. Für alle i > n* liegen echte Messwerte x vor (evtl. liegen weitere kleine Messwerte x_<j>, < x^* für j < n^* vor, die jedoch unter die "Zensur" fallen und deren Werte nicht weiter genutzt werden).

Die in [C2] zur Schätzung der Parameter einer Normalverteilung anhand so genannter "zensierter" ⁺ Stichproben entwickelte Methode basiert auf dem Maximum-Likelihood-Prinzip.

Die Likelihood-Funktion L dieser Stichprobe ist eine Funktion von μ und σ, deren Verlauf durch die Erkennungsgrenze x^*, die Stichprobenwerte x sowie durch die Zahlen n und n* bestimmt wird:

(C12)

mit

(C13)

In (C12) sind mit F_N(0;1)(x) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und mit f_{N(μ ;σ )}(x) die Verteilungsdichte der gesuchten Normalverteilung bezeichnet; siehe Gl. (C1) und (C2). Zur Schätzung der Parameter μ und σ werden jene Werte μ_n und σ_n bestimmt, für die das Maximum der Likelihood-Funktion (C12) vorliegt. Im Fall n* = 0 führt dieses Prinzip zu den folgenden Schätzern:

(C4")

(C5")

Der ML-Schätzwert (C4") für μ stimmt mit dem Momentenschätzer (C4) überein, wogegen der ML-Schätzwert (C5") für σ² vom Momentenschätzer (C5) um den Faktor (n-1)/n abweicht. Dieser Faktor wird später auch für den allgemeinen Fall n* > 0 zusätzlich eingeführt, um Kompatibilität mit dem üblichen Schätzer (C5) zu erreichen (s. u.). Auf die Kennzeichnung "ML" wird nachfolgend zur Vereinfachung der Formeln verzichtet.

Für die hier betrachtete "linkszensierte" Stichprobe erhält man aus (C12) zur Berechnung von μ_n und σ_n die Gleichungen

(C14)

(C15)

mit

(C16)

(C17)

(C18)

Zur Lösung des Gleichungssystems (C14)/(C15) wird die Größe

(C19)

eingeführt. Damit erhält man die Beziehungen

(C20)

(C21")

(C22)

Um für die Schätzung von σ Kompatibilität mit (C5) zu erreichen, wird der ML-Schätzer (C21") noch mit dem Faktor n/(n-1) korrigiert:

(C21)

Die Berechnung der Schätzwerte μ _n und σ _n² mit Gl. (C20) und (C21) erfordert somit drei Schritte:

• Berechnung von ` X und s² nach Gl. (C16) und (C17) aus den n - n* Werten x > x*;
• Berechnung von ξ durch Lösung von Gl. (C22);
• Berechnung von λ(ξ) nach Gl. (C19).

Aus (C22), (C18) und (C19) ist ersichtlich, dass die Stichprobendaten nur über die Parameter

α = n* / n und

(C23)

β = s2 / (`x - x* ) 2

(C24)

in die Berechnung von λ eingehen. Somit kann λ als Funktion von α und β dargestellt werden. Die Abhängigkeit des Parameters λ von α und β ist in den Abbildungen C1 und C2 für Wertebereiche von 0 ≤;α ≤ 0,5 und 0 ≤; β ≤ 1 dargestellt. Im Grenzfall α = 0 (n* = 0) gehen die Gleichungen (C20) und (C21) mit λ = 0 in die Gl. (C4) und (C5) über.

Zur Anwendung der erläuterten Methode zur Schätzung der beiden Parameter der Normalverteilung μ und σ kann die Funktion λ = λ (α, β) durch ein Polynom approximiert werden,

(C25)

das mit den in Tabelle C1 angegebenen Koeffizienten λ_j,k im o. g. Wertebereich sehr genau ist.

Tabelle C1: Koeffizienten λ _j,k der Approximation (C25) für von 0 ≤; α ≤ 0,5 und 0 ≤; β ≤ 1

	k = 0	k = 1	k = 2	k = 3
j = 1	0,99886	0,84223	-0,52221	0,20181
j = 2	1,05480	-0,62573	1,02967	-0,50063
j = 3	-0,16628	0,83956	-1,35989	0,70305
j = 4	1,51328	-0,44622	0,88411	-0,46149

Alternativ können die von den beiden Parametern α und β (siehe Gl. (C23) und (C24)) abhängigen Werte von λ auch aus dem in der Abbildung C1 dargestellten Nomogramm entnommen werden.

C.3 Identifikation von Ausreißern

Zur Ausreißer-Identifikation wird der GRUBBS-Test empfohlen; siehe [C1], [C3]. Der Test wird für eine normal verteilte Größe X erläutert. Er ist auf die Identifikation von Ausreißern in Stichproben für lognormal verteilte Zufallsgrößen Y durch die Transformation X = ln(Y), die nach Gl. (C8) auch für einzelne Messwerte der Stichprobe vorzunehmen ist, direkt übertragbar.

Der GRUBBS-Test basiert auf der statistischen Verteilung der Extremwerte x_<1> bzw. x_<n> von zufälligen Stichproben aus einer normalverteilten Grundgesamtheit X ~ N_{(μ ;σ )}, wobei mit x (i = 1 bis n) die der Größe nach geordneten Einzelwerte bezeichnet werden.

Es sei nun {x}_n eine Stichprobe für die Zufallsgröße X vom Umfang n (für eine lognormal verteilte Zufallsgröße Y ~ Ln(μ;σ),wird {x = ln(y)}_n betrachtet).

Abbildung C1: Abhängigkeit des Parameters λ von β = s²/( ` X -x* )² für Werte α = n*/n von 0,05(0,05)0,50

Abbildung C2: Abhängigkeit des Parameters λ von α = n*/n für β = s²/(` X -x* )² = {0,0; 0,5; 1,0}

Der GRUBBS-Test beinhaltet die Prüfung der Hypothese

(C26)

gegen die alternative Hypothese H₁, dass der minimale bzw. der maximale Extremwert der Stichprobe {x}_n ein Ausreißer sei. H₀ wird verworfen (x_<1> bzw. x_<n>, werden als Ausreißer betrachtet), wenn x_<1> bzw. x_<n> bei einer vorgegebenen zulässigen Irrtumswahrscheinlichkeit α für den Fehler 1. Art (Verwerfen von H₀, obwohl H₀ zutrifft) nicht der durch die Stichprobe charakterisierten Normalverteilung zuzuordnen ist. Hierzu wird die Prüfgröße

(C27)

betrachtet, wobei μ_n und σ_n die nach Abschnitt C.2 berechneten Schätzer der beiden (unbekannten) Parameter μ und σ der Normalverteilung X ~ N(μ;σ) sind.

Die Prüfgrößen G₁ und G_n sind mit so genannten kritischen Werten g_n;α zu vergleichen, die vom Umfang n der Stichprobe sowie von der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit α für den Fehler 1. Art abhängig sind. Dann gilt:

x ist Ausreißer, wenn G1 > gn,α bzw. x<n> ist Ausreißer, wenn Gn > gn;α.

(C28)

Im Zusammenhang mit der Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert von normal oder lognormal verteilten Zufallsgrößen wird empfohlen, den G_RUBBS-Test mit einer zulässigen Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,01 vorzunehmen. Eine größere Irrtumswahrscheinlichkeit (z.B. Α = 0,05) würde dazu führen, dass zu viele kleine bzw. große Messwerte irrtümlich aus der Stichprobe separiert werden, was erhebliche Fehler bei weiteren Berechnungen und Bewertungen zur Folge haben könnte. Gewinnt man aus einer (reinen) normal verteilten Grundgesamtheit eine sehr große Anzahl von Stichproben mit gleichen Umfängen n, so werden im Durchschnitt α·100 % der kleinsten Werte x_<1>, und α·100 % der Maximalwerte x_<n> irrtümlich als Ausreißer klassifiziert.

Für 5 ≤; n ≤; 100 sind die kritischen Werte g_n;α für den GRUBBS-Test, bei deren Überschreitung durch die Prüfgrößen (C27) der Extremwert x_<1> bzw. x_<n> gemäß (C28) als Ausreißer zu klassifizieren ist, in Tabelle C2 für die Irrtumswahrscheinlichkeiten von Α = 0,01 und Α = 0,05 angegeben.

Die kritischen Werte g_n,α können gemäß [C4] mit einer zur Anwendung hinreichenden Genauigkeit durch folgende Näherungen berechnet werden, die für Stichprobenumfänge 5 ≤; n ≤; 10.000 gelten:

	(C29)
	(C30)

wobei k_p das P%-Perzentil der Standardnormalverteilung bezeichnet (F_N(0;1)(k_p) = P). Mit den Wahrscheinlichkeiten P(n,α) stellen die Perzentile k_p(n,a) kritische Werte für den Ausreißertest bei bekannten Werten der Parameter μ, σ der Normalverteilung dar.

C.4 Schätzung des Untergrundwertes c für gestörte Lognormalverteilungen

In der Realität treten relativ oft Überlagerungen von lognormal verteilten Zufallsgrößen Y ~ Ln(μ;σ) mit einem Untergrund C auf, der im Vergleich zu Y nur geringe Schwankungen aufweist. Die reale Messgröße ist dann Z = Y + C. Wird für C vereinfachend ein konstanter Wert c angenommen, so kann dessen Verteilungsdichte durch die DIRAC'sche Deltafunktion approximiert werden:

fc(t) = δ (t-c) .

(C31)

Mit der Verteilungsdichte Gl. (C6) für den lognormal verteilten Anteil Y folgt dann:

(C32)

Bei einer Zufallsgröße Z = C + Y ~ c + Ln(μ ; σ ) mit einer Verteilungsdichte der Form (C32) spricht man von einer "Drei-Parameter-Lognormalverteilung" [C1] bzw. auch von einer "Lognormalverteilung, die durch einen konstanten Untergrund gestört ist" [C4].

Offensichtlich ist es erforderlich, bei der Schätzung der Parameter μ und σ (siehe Abschnitt C.2) sowie für die Prüfung einer Stichprobe hinsichtlich möglicher Ausreißer (siehe Abschnitt C.3) zunächst einen in den Messwerten der Stichprobe enthaltenen Untergrund zu separieren, weil sonst die Annahme, dass die Logarithmen der Messwerte Realisierungen einer normal verteilten Größe sind, nicht zutrifft. Es ist zwar X = ln(Y) normal verteilt, nicht jedoch ln(Z) =ln (c + Y). Wird ein vorhandener Untergrundwert c einer gestörten Lognormalverteilung nicht beachtet, so kann dies gravierende Fehler bei der Schätzung weiterer Kenngrößen, z.B. des Erwartungswertes E oder seiner Konfidenzgrenzen, bewirken [C4].

Wenn der Untergrundwert c einen relativ hohen Beitrag zu den Messwerten einer Stichprobe bildet, so ist dies z.B. im Quantil-Quantil-Plot (Q-Q-Plot) der Logarithmen der nach der Größe geordneten Messwerte z über den Perzentilen k_Pi der Standardnormalverteilung zu den Wahrscheinlichkeiten

(C33)

ersichtlich, wie in Abbildung C3 beispielhaft dargestellt. Sie zeigt den Q-Q-Plot einer zufälligen Stichprobe vom Umfang n = 30 aus einer Lognormalverteilung Y Ln(μ;σ) mit den folgenden nach der Größe geordneten Werten y und den Q-Q-Plot für die mit einem Untergrund von c = 50 gestörten Messwerte z = 50 + y:

y : 4; 6; 10; 19; 28; 32; 39; 42; 47; 49; 56; 61; 70; 73; 79; 89; 136; 146; 150; 227; 265; 331; 445; 528; 607; 805; 1321; 1814; 2325; 4197.

(C34)

In Abbildung C3 zeigt die ungestörte Stichprobe von Y eine starke lineare Relation zwischen den Logarithmen ln(y) der geordneten Stichprobenwerte und den Perzentilen k_Pi, was am hohen Wert des Bestimmtheitsmaßes R² abzulesen ist. Für die mit c = 50 gestörte Stichprobe von Z = c + Y zeigt der Q-Q-Plot dagegen eine deutliche Krümmung - die Kurve "hängt" im Bereich der kleinen Daten über dem Logarithmus ln(c) des Untergrundwertes. Für starke Störungen von Lognormalverteilungen durch einen Untergrund ist dies ein charakteristisches Merkmal.

Zur Schätzung des Untergrundwertes c aus den Messwerten z_i (i = 1 bis n ) der Stichprobe kommen verschiedene, i.W. gleichwertige Methoden in Betracht. Nach [C4] sind besonders die Maximierung des Bestimmtheitsmaßes R²(c) im QQ-Plot und die Suche der Nullstelle der Schiefe S(c) geeignet.

Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: z ist der i-te der nach der Größe geordneten Werte von {z}_n;

(C35)

(C36)

(C37)

Die erste Methode erfordert die Ermittlung des Wertes c_R, für den das Bestimmtheitsmaß

Tabelle C2: Kritische Werte g_n;a für den GRUBBS-Ausreißertest für Stichprobenumfänge n von 5 bis 100 für die Irrtumswahrscheinlichkeiten α = 0,01 und α = 0,05; aus [C1]

n	gn;0,01	gn;0,05	n	gn;0,01	gn;0,05	n	gn;0,01	gn;0,05	n	gn;0,01	gn;0,05
5	1,749	1,672	29	3,085	2,730	53	3,361	2,978	77	3,507	3,116
6	1,944	1,822	30	3,103	2,745	54	3,368	2,986	78	3,512	3,121
7	2,097	1,938	31	3,119	2,759	55	3,376	2,992	79	3,517	3,125
8	2,221	2,032	32	3,135	2,773	56	3,383	3,000	80	3,521	3,130
9	2,323	2,110	33	3,150	2,786	57	3,390	3,006	81	3,525	3,134
10	2,410	2,176	34	3,164	2,799	58	3,397	3,013	82	3,529	3,139
11	2,485	2,234	35	3,178	2,811	59	3,404	3,019	83	3,534	3,143
12	2,550	2,285	36	3,191	2,823	60	3,411	3,025	84	3,539	3,147
13	2,607	2,331	37	3,204	2,835	61	3,418	3,032	85	3,543	3,151
14	2,659	2,371	38	3,216	2,846	62	3,424	3,038	86	3,547	3,155
15	2,705	2,409	39	3,228	2,857	63	3,430	3,044	87	3,551	3,159
16	2,747	2,443	40	3,240	2,866	64	3,436	3,049	88	3,555	3,163
17	2,785	2,475	41	3,251	2,877	65	3,442	3,055	89	3,559	3,167
18	2,821	2,504	42	3,261	2,887	66	3,448	3,061	90	3,563	3,171
19	2,854	2,532	43	3,271	2,896	67	3,454	3,066	91	3,567	3,174
20	2,884	2,557	44	3,282	2,905	68	3,460	3,071	92	3,571	3,178
21	2,912	2,580	45	3,292	2,914	69	3,466	3,076	93	3,575	3,182
22	2,939	2,603	46	3,301	2,923	70	3,471	3,082	94	3,579	3,186
23	2,963	2,624	47	3,310	2,931	71	3,476	3,087	95	3,583	3,189
24	2,987	2,644	48	3,319	2,940	72	3,482	3,092	96	3,586	3,193
25	3,009	2,663	49	3,329	2,948	73	3,487	3,098	97	3,589	3,197
26	3,029	2,681	50	3,337	2,956	74	3,492	3,102	98	3,593	3,201
27	3,049	2,698	51	3,345	2,964	75	3,497	3,107	99	3,597	3,204
28	3,068	2,714	52	3,353	2,971	76	3,502	3,111	100	3,600	3,207

(C38)

im Bereich c < z_<1> ein Maximum erreicht; k_p ist das P · 100%-Perzentil der Standard-Normalverteilung.

In Gl. (C38) sind die durch Gl. (C33) definierten Wahrscheinlichkeiten P_i zu verwenden.

Die zweite Methode erfordert die Ermittlung der Nullstelle c_s der standardisierten Schiefe

(C39)

im Bereich c < z_<1>.

Die für eine Stichprobe {z}_n resultierenden Werte c_R und c_s können etwas voneinander abweichen. Im Sinne eines besten Schätzwertes für den konstanten Untergrund c kann mit

(C40)

gerechnet werden.

In den Abbildungen C4 und C5 sind für das Beispiel (C34) die Ergebnisse einer Schätzung des Untergrundwertes für die mit c = 50 gestörte Stichprobe {z_<1>}_n = {c + y_<1>}_n dargestellt. Die beiden nach den oben erläuterten Methoden resultierenden Schätzwerte sind in diesem Fall: c_R = 51,3 und c_s = 51,7. Gemäß Gl. (C40) würde man mit einem geschätzten Untergrund von c = 51,5 rechnen, der dem wahren Wert hinreichend genau entspricht.

Abbildung C3: Q-Q-Plot für die ungestörte Stichprobe {y}_n, (C34) aus einer Lognormalverteilung und für die durch einen Untergrund von c = 50 gestörte Probe {z}_n = {c + y}_n

Abbildung C4: Schätzung des Untergrundwertes c_R durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R²(c); mit c = 50 gestörte Stichprobe {z}_n = {c + y}_n; y aus (C34)

Abbildung C5: Schätzung des Untergrundwertes c_s durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c); mit c = 50 gestörte Stichprobe {z}_n = {c + y}_n y aus (C34)

C.5 Literatur

[C1] RINNE, H.
Taschenbuch der Statistik
Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1997

[C2] COHEN, A.C.
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[C3] GRUBBS, F.E
Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples
Technometrics, 11 (1969), pp. 1 - 21

[C4] BARTHEL, R.
Statistische Auswertung von Stichproben lognormal verteilter Größen für realistisch-konservative radioökologische Bewertungen, in: Aktuelle und zukünftige Aufgaben in der Radioökologie - Klausurtagung des Ausschusses "Radioökologie" der Strahlenschutzkommission am 25./26. Juli 2001; Veröffentlichungen der Strahlenschutzkommission Band 49, S. 207 - 280, Urban & Fischer, München, Jena, 2003

weiter .