E.2 Verbesserung der Repräsentativität durch einen erhöhten Stichprobenumfang oder durch die Verwendung von Mischproben

E.2.1 Erhöhung des Stichprobenumfangs

Für die in Abschnitt E.1.1 betrachtete Stichprobe {y}₂₀ ergab sich, dass die Überwachungsgrenze von C = 1 mit der berechneten oberen Konfidenzgrenze von UL = E^(n;P)= 1,929 nicht nachgewiesen wurde. Dies dürfte aber mit großer Wahrscheinlichkeit daran liegen, dass der Stichprobenumfang (n = 20) für die Grundgesamtheit zu klein war. Der in die Berechnung der oberen Konfidenzgrenze eingehende Konfidenzfaktor hatte einen Wert von B(n = 20; P = 0,95; σ_n = 1,359) ≅ 2,65. Er bringt zum Ausdruck, dass die Schätzung des Erwartungswertes der untersuchten Grundgesamtheit mit der Stichprobe {y}₂₀ eine erhebliche statistische Unsicherheit aufweist.

Nimmt man an, dass die Schätzwerte μ _n und σ_n und damit auch E_n^(ML) den wahren Werten der Grundgesamtheit in etwa entsprechen, so kann man anhand der Abbildung Dia prognostizieren, in welchem Maße der Stichprobenumfang zum Nachweis der Einhaltung der Überwachungsgrenze C vergrößert werden sollte. Hierzu wäre eine Reduzierung des Konfidenzfaktors von 2,65 (s. o.) auf einen Wert von C/E_n^(ML) = 1/0,727 ≅ 1,38 nötig. Nach Abbildung Dia wird dazu mit σ_n zwischen 1,3 und 1,4 ein Stichprobenumfang von n ≈ 100 prognostiziert. Die genauere Berechnung des Konfidenzfaktors mit der analytischen Näherung aus Abschnitt D.2 ergibt: B(n = 100; P = 0,95; σ_n = 1,36) ≅ 1,42.

Für die Grundgesamtheit (E1) wurden dementsprechend 80 weitere zufällige Werte simuliert. Die zusammen mit den 20 Werten von Tabelle E1 resultierende Stichprobe {y}₁₀₀ enthält Tabelle E5. Der Q-Q-Plot dieser 100 Daten ist in Abbildung E8 dargestellt.

Zur vereinfachten Schätzung der oberen Konfidenzgrenze UL_r resultiert nach Gl. (12) die Prüfgröße

Gemäß Tabelle 3 und Gl. (13) ist y_<83> = 1,199 ein einfacher Schätzer zur oberen Konfidenzgrenze UL des Erwartungswertes. Da mit diesem Wert die relevante Überwachungsgrenze überschritten wird, ist eine genauere Berechnung der oberen Konfidenzgrenze erforderlich.

In Tabelle E6 sind die zur Stichprobe {y}₁₀₀ aus Tabelle E5 berechneten statistischen Kenngrößen zusammengestellt. Hierzu ergeben sich folgende Feststellungen:

• Die Stichprobe enthält keine Ausreißer und keinen konstanten Untergrund.
• Die Parameterwerte μ und σ der Verteilung (E1) wurden erneut relativ gut bestimmt, wobei der Vergleich mit Tabelle E2 zeigt, dass der Parameter p noch etwas stärker überschätzt und der Parameter A noch etwas stärker unterschätzt wurde als mit der Stichprobe {y}₂₀. Während sich der ML-Schätzwert E_n^(ML) geringfügig verkleinert hat, liegt der arithmetische Mittelwert jetzt deutlich näher am wahren Erwartungswert.
• Der Erwartungswert ist zum Vertrauensniveau P = 0,95 kleiner als 0,978 (und größer als 0,531). Dementsprechend würde man im Ergebnis der Erhöhung des Stichprobenumfangs auf n = 100 darauf schließen, dass auf Basis der oberen Konfidenzgrenze der Schätzung des Erwartungswertes von UL = E^(n;P) ≅ 0,98 die Einhaltung der Überwachungsgrenze von C = 1 mit einem Vertrauensniveau von P = 0,95 nachgewiesen wurde.

Tabelle E5: Einzelwerte y der zufälligen Stichprobe {y}₁₀₀ der Lognormalverteilung (E1); die 20 Werte der ursprünglichen Stichprobe {y}₂₀ aus Tabelle E1 sind fett markiert

E.2.2 Verwendung von Mischproben

Wenn die zu bewertende Grundgesamtheit eine sehr langschwänzige Lognormalverteilung darstellt (große Werte des Parameters σ), so verbleiben selbst bei sehr großen Stichprobenumfängen ggf. erhebliche statistische Unsicherheiten der Schätzung des Erwartungswertes, welche durch die Konfidenzfaktoren B(n; P; σ_n) und B(n; 1-P; σ_n) für die obere bzw. untere Konfidenzgrenze der Schätzung des Erwartungswertes charakterisiert werden.

Um für Rückstände mit sehr großer Heterogenität/Variabilität der spezifischen Aktivität trotzdem mit einem verhältnismäßigen Aufwand die Einhaltung von Überwachungsgrenzen bzw. des Dosisrichtwerts nachweisen zu können, besteht die Möglichkeit der Nutzung von Mischproben (siehe Abbildung 1).

Zur Verdeutlichung der mit dieser Vorgehensweise verbundenen Effekte wird für die Lognormalverteilung Gl. (E1) eine aus 20 Mischproben bestehende Stichprobe {z}₂₀ betrachtet. Die einzelnen Werte z; dieser Mischprobe wurden durch zufällige Auswahl - ohne Zurücklegung - von je 5 Werten der Stichprobe {y}₁₀₀ aus Tabelle E5 über deren Mittelwert berechnet. Die Tabelle E7 enthält die nach der Größe geordneten 20 Werte z dieser "Stichprobe von Mischproben".

Die Abbildungen E9 und E10 zeigen die Q-Q-Plots zu den Annahmen einer normalen bzw. einer lognormalen Verteilung der Stichprobe {z}₂₀ von Tabelle E7. Da R²_(Ln) mit einem Wert von 0,979 deutlich größer ist als R²_(N) mit 0,861, sind weiterhin die für lognormale Verteilungen gültigen Formeln zur Berechnung der oberen Konfidenzgrenze zum Erwartungswert anzuwenden (siehe Teilschema Punkt 3; Abbildung 2). Es sei jedoch vermerkt, dass sich im Vergleich zur einfachen Stichprobe {y}₂₀ aus Tabelle E1 der Wert von R²_(N) bereits deutlich vergrößert hat.

Zur vereinfachten Schätzung der oberen Konfidenzgrenze UL resultiert nach Gl. (12) die Prüfgröße

Gemäß Tabelle 2 und Gl. (13) ist z_<17> = 0,870 ein einfacher Schätzer zur oberen Konfidenzgrenze UL des Erwartungswertes. Da mit diesem Wert die relevante Überwachungsgrenze unterschritten wird, könnte auf eine genaue Berechnung der oberen Konfidenzgrenze verzichtet werden. Die weiteren Berechnungen erfolgen hier aus methodischen Gründen. In den Abbildungen E11 und E12 ist hierzu die Schätzung des konstanten Untergrundwertes c der Stichprobe {z}₂₀ dargestellt.

Tabelle E6: Statistische Kennwerte zur Stichprobe (y}₁₀₀ aus Tabelle E5 (n = 100; P = 0,95)

Tabelle E7: Einzelwerte z, der Stichprobe {z}₂₀ von Mischproben aus je fünf zufällig, ohne Zurücklegung ausgewählten Einzelproben der Stichprobe {y}₁₀₀ aus Tabelle E5

Abbildung E8: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(y) der Stichprobe {y}₁₀₀ aus Tabelle E5

Abbildung E9: Q-Q-Plot für die Stichprobe {z}₂₀ aus Tabelle E7 (Test auf Normalverteilung)

Abbildung E10: Q-Q-Plot für die Logarithmen x = ln(z) der Stichprobe {z}₂₀ aus Tabelle E7

Abbildung E11: Schätzung des Untergrundwertes c_R für die Stichprobe {z}₂₀ aus Tabelle E7

Abbildung E12: Schätzung des Untergrundwertes c_S für die Stichprobe {z}₂₀ aus Tabelle E7

Tabelle E8: Statistische Kennwerte zur Stichprobe Gl. (E4) (P = 0,95)

Abbildung E13: Messwerte (n = 270) zur spezifischen U-238- und Ra-226-Aktivität einer Halde

Gemäß Gl. (C40) wird für den Untergrund der Mittelwert der beiden Schätzungen angesetzt:

Durch die Mischung von Einzelproben entsteht (technisch) ein konstanter Untergrund c, der in den ursprünglichen Einzelwerten nicht enthalten war.

In Tabelle E8 sind die Ergebnisse der Parameterschätzung sowie der Berechnung der Punktschätzer E_n^(AM)und E_n^(ML) und der Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes zum Vertrauensniveau P = 0,95 zusammengestellt, wobei in den drei letzten Spalten jeweils der Wert c des konstanten Untergrundes zur besseren Vergleichbarkeit der Ergebnisse hinzugefügt wurde, so dass bereits die Werte für PL, LL bzw. UL angegeben sind; siehe Gl. (24) und (29). Die in der zweiten Zeile angegebenen Werte wurden unter der falschen Annahme berechnet, dass die aus Mischproben bestehende Stichprobe aus Tabelle E7 keinen konstanten Untergrund enthält.

Vergleicht man die statistischen Kennwerte in der letzten Zeile von Tabelle E8 mit den Angaben von Tabelle E6, so ergeben sich drei wichtige Feststellungen:

• Der für die Mischprobe resultierende σ_n -Wert ist wesentlich kleiner als der entsprechende Wert für die ursprüngliche Stichprobe; für μ_n ergibt sich dagegen ein größerer Wert. Der für E_n^(ML)resultierende Schätzwert ist (auch nach Addition des Untergrundwertes c) für die aus Mischproben bestehende Stichprobe der E7 etwas kleiner als für die ursprüngliche Stichprobe {y}₁₀₀ der Tabelle E5. Die beiden arithmetischen Mittelwerte der Stichprobe {y}₁₀₀ und der daraus durch Mischung von je fünf Einzelproben erzeugten Stichprobe {z}₂₀ sind natürlich gleich.
• Für den Konfidenzfaktor B(n; P; σ _n) = E^(n;P)/E_n^(ML) bewirkt die Verringerung des Stichprobenumfangs n einen Anstieg und die Verringerung von σ_n eine Reduzierung. Für das betrachtete Beispiel zeigt der letztgenannte Effekt eine etwas größere Wirkung. Der Wert für B(n; P; σ_n) fällt von 1,40 gemäß Tabelle E6 auf 1,37 gemäß Tabelle E8.
• Für die obere Konfidenzgrenze des Erwartungswertes ergibt sich für die Mischprobe mit 0,892 ein um ca. 10 % kleinerer Wert als für die ursprüngliche Stichprobe {y}₁₀₀ für die eine obere Konfidenzgrenze zum Erwartungswert von 0,978 berechnet worden war (siehe Tabelle E6). Die Einhaltung der Überwachungsgrenze C = 1 wäre somit auf Basis der Mischproben mit einer größeren Sicherheit nachgewiesen.

Dieses Beispiel veranschaulicht, dass auf der Basis von Stichproben, die aus Mischproben bestehen, für Rückstände mit einer relativ breiten Verteilung der spezifischen Aktivität ein Nachweis der Einhaltung von Überwachungsgrenzen nach StrlSchV Anlage XII Teil B zur Beseitigung bzw. Verwertung der Rückstände mit einem verringerten Aufwand möglich ist.

E.3 Auswertung von Messwerten zur Beprobung einer Bergbauhalde

Die Abbildung E13 zeigt die Analysenwerte von 270 Proben zur spezifischen U-238- und Ra-226-Aktivität des Materials einer Bergbauhalde. Der Abbildung E13 kann entnommen werden, dass im Trend für Ra-226 etwas höhere Aktivitäten vorliegen als für U-238, so dass die Datenauswertung und nachfolgenden Berechnungen von Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes auf die Messwerte für Ra-226 beschränkt werden können. Diese Stichprobe sei mit {z)₂₇₀ bezeichnet.

E.3.1 Berechnungen der Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert der Stichprobe {z}₂₇₀

In Abbildung E14 ist der Q-Q-Plot für die Logarithmen zur Stichprobe {z}₂₇₀ dargestellt. Danach ist zu vermuten, dass in den Messwerten ein konstanter Untergrund enthalten ist. Der maximale Stichprobenwert zur Ra-226-Aktivität von 19,8 Bq/g könnte ein Ausreißer sein. Dieser Messwert ist allerdings plausibel, weil die für diese Probe gemessene spezifische U-238-Aktivität von 13 Bq/g gut zum Extremwert der Ra-226-Aktivität korreliert (siehe Abbildung E13).

Die Schätzung des Untergrundwertes ist in den Abbildungen E15 und E16 dargestellt. Gemäß Gl. (C40) wird für den Untergrund der Mittelwert der beiden Schätzungen angesetzt:

In Tabelle E9 sind die Ergebnisse der Parameterschätzung sowie der Berechnung der Punktschätzer E_n^(AM) und E_n^(ML) und der Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes zum Vertrauensniveau P = 0,95 zusammengestellt, wobei in den drei letzten Spalten jeweils der Wert c des konstanten Untergrundes zur besseren Vergleichbarkeit der Ergebnisse hinzugefügt wurde, so dass bereits die Werte für PL, LL bzw. UL_r angegeben sind; siehe Gl. (24) und (29). Die in der zweiten Zeile angegebenen Werte wurden mit der falschen Annahme berechnet, dass die Stichprobe {z}₂₇₀ keinen Untergrund enthält.

Während der obere Extremwert unter der Annahme c = 0 als Ausreißer klassifiziert würde, ist dies nach Separation des Untergrundwertes bei der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit für den GRUBBS-Test von σ = 0,01 nicht mehr der Fall. Die nach Abbildung 2 empfohlene Reihenfolge der Separation von Störungen kann - wie hier gezeigt - durchaus wichtig sein.

Abbildung E14: Q-Q-Plot der Logarithmen x_<1> = ln(z_<1>) zur Stichprobe {z}₂₇₀ aus Abb. E13

Tabelle E9: Statistische Kennwerte zur Stichprobe {z}₂₇₀ (n = 270; P = 0,95)

Abbildung E15: Schätzung des Untergrundwertes c_R zur Stichprobe {z}₂₇₀ aus Abbildung E13

Abbildung E16: Schätzung des Untergrundwertes c_S zur Stichprobe {z}₂₇₀ aus Abbildung E13

E.3.2 Berechnungen der Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert für eine aus der Stichprobe {z}₂₇₀ simulierte Mischprobe {z}₂₇

Abschließend sollen anhand der Stichprobe {z}₂₇₀ aus Abbildung E13 die Auswirkungen einer Nutzung von Mischproben veranschaulicht werden. Hierzu wurden durch eine zufällige Auswahl von jeweils 10 Werten der Stichprobe {y}₂₇₀ über deren Mittelwerte "Mischproben" berechnet. Die Werte der so erzeugten Stichprobe {z}₂₇ sind in der Tabelle E10 zusammengestellt. Der Q-Q-Plot für die Logarithmen dieser Stichprobe ist in Abbildung E17 dargestellt. Die Abbildungen E18 und E19 zeigen die Ergebnisse zur Schätzung des Untergrundwertes.

Zur Festlegung der Verteilungsart (siehe Teilschema in Abbildung 2, Punkt 3) sei vermerkt, dass trotz der relativ großen Anzahl von je 10 Einzelproben, die zur Erzeugung der Mischproben genutzt wurden, das Bestimmtheitsmaß R²_(N) für die Annahme einer Normalverteilung mit einem Wert von 0,523 wesentlich kleiner ist als der aus Abbildung E17 ersichtliche Wert von R²_(Ln) = 0,881.

Aus der Abbildung E17 gewinnt man zunächst den Eindruck, dass die Messwerte nicht nur einen konstanten Untergrund enthalten, sondern dass der maximale Stichprobenwert von z_<27> = 2,229 ein Ausreißer sein könnte. Nach Abzug des Untergrundwertes

Tabelle E10: Einzelwerte z der Stichprobe {z}₂₇ von Mischproben aus je zehn zufällig, ohne Zurücklegung ausgewählten Einzelproben der Stichprobe {y}₂₇₀ von Abb. E13

Abbildung E17: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(z) zur Stichprobe {z}₂₇ aus Tabelle E10

Abbildung E18: Schätzung des Untergrundwertes c_R für die Stichprobe {z}₂₇ aus Tabelle E10

Abbildung E19: Schätzung des Untergrundwertes c_S für die Stichprobe {z}₂₇ aus Tabelle E10

Abbildung E20: Q-Q-Plot der Logarithmen x = ln(z- c) zur Stichprobe {z}₂₇ aus Tabelle E10

Tabelle E11: Statistische Kennwerte zur Stichprobe {z}₂₇ aus Tabelle E10 (n = 27; P = 0,95)

ergibt sich jedoch mit Abbildung E20 ein völlig anderer Eindruck bzgl. möglicher Ausreißer, wobei jetzt auch ein deutlich größerer Wert des Bestimmtheitsmaßes von R²_(Ln) = 0,971 erreicht wird. In Tabelle E11 sind die Ergebnisse der Parameterschätzung sowie der Berechnung der Punktschätzer E_n^(AM) und E_n^(ML) und der Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes (Vertrauensniveau P = 0,95) analog zu Tabelle E9 zusammengefasst. Nach der Separation des Untergrundes ist der Maximalwert nicht mehr als Ausreißer anzusehen.

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Zur vereinfachten Schätzung bzw. genaueren Berechnung von Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes normal sowie lognormal verteilter Zufallsgrößen enthalten die Anhänge B bzw. D neben den hierfür abgeleiteten Beziehungen die erforderlichen Koeffizienten für den Fall, dass ein Vertrauensniveau von P = 0,95 eingehalten werden soll. Dieses Vertrauensniveau sollte nach der vorliegenden Empfehlung zur Ermittlung repräsentativer Werte der spezifischen Aktivität im Zusammenhang mit dem Nachweis der Einhaltung von Überwachungsgrenzen bzw. des Dosisrichtwertes nach §§ 97, 98 StrlSchV zugrunde gelegt werden .

DA für andere Anwendungen der Methodik auch ein geringeres Vertrauensniveau von Interesse sein kann, werden im vorliegenden Anhang die Werte der diversen Koeffizienten für ein Vertrauensniveau von P = 0,90 angegeben. Die Tabellen F1 bis F3 enthalten hierzu - analog zu den Tabellen B1 bis B3 - die für vereinfachte Schätzungen der oberen

Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes benötigten Koeffizienten für die Fälle normal (Tabelle F1) und lognormal (Tabellen F2 und F3) verteilter Größen.

Die Tabelle F4 enthält (analog zur Tabelle D1) die zur Berechnung von oberen bzw. unteren Konfidenzgrenzen des Erwartungswerts einer normal verteilten Zufallsgröße nach Gleichung (D13) benötigten Perzentile t_n-1;P der t-Verteilung zum Vertrauensniveau P = 0,90.

Zur Schätzung von Konfidenzgrenzen des Erwartungswertes von lognormal verteilten Größen nach Gleichung (D14) sind die Konfidenzfaktoren B(n; P; σ_n) und B(n; 1-P; σ_n) zum Vertrauensniveau P = 0,90 in den Abbildungen F1 bzw. F2 dargestellt. Für eine gute Vergleichbarkeit wurde in diesen Abbildungen die gleiche Skalierung verwendet, wie in den Abbildungen D1 und D2 für die dort dargestellten Konfidenzfaktoren zum Vertrauensniveau P = 0,95.

Für die genauere Berechnung der Konfidenzfaktoren zum Vertrauensniveau P = 0,90 mit Hilfe der polynomialen Approximationen der Gleichungen (D17) bis (D20) sind in den Tabellen F5 bis F7 (analog zu den Tabelle D2 bis D4) die hierfür benötigen Koeffizienten zusammengestellt.

Tabelle F1: Ordnungszahlen k und Wichtungskoeffizienten A zur vereinfachten Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße X nach G. (B12); Stichprobenumfänge n = 6(2)30(10)100; P = 0,90

Tabelle F2: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E gemäß Abschnitt B.3; Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,90

Tabelle F3: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E gemäß Abschnitt B.3; Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,90

weiter .